MECÂNICA DOS SÓLIDOS E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

O livro está estruturado de tal maneira que os conceitos básicos são apresentados duma forma clara e sistemática, tendo havido a preocupação de evitar tratamentos matemáticos complicados. Especialmente orientado para a formação de alunos de engenharia, o livro pode servir de apoio a qualquer disciplina de introdução à Mecânica dos Sólidos, incluindo também algumas aplicações importantes ao projecto de elementos estruturais típicos de engenharia mecânica, civil e outras especialidades afins. Embora dando ênfase à utilização dos conceitos e das equações da Teoria da Elasticidade clássica para obtenção de soluções por via analítica, foi feito um esforço no sentido de ilustrar a sua aplicação a problemas correntes de engenharia. Por outro lado, o tratamento teórico adoptado constitui um suporte essencial ao desenvolvimento de outras técnicas de abordagem dos problemas de projecto e análise estrutural recorrendo, nomeadamente, à utilização dos métodos numéricos.

ISBN: 972-8826-06-0

J.F. SILVA GOMES

MECÂNICA DOS SÓLIDOS E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Este livro é o resultado duma compilação de apontamentos e notas de apoio às aulas de Mecânica dos Sólidos, Resistência de Materiais e outras disciplinas afins, os quais têm vindo a ser sucessivamente ampliados e aperfeiçoados durante os últimos vinte e cinco anos em que o autor tem leccionado aquelas disciplinas em cursos de licenciatura e de mestrado na FEUP.

EDIÇÕES INEGI

MECÂNICA DOS SÓLIDOS E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS J.F. SILVA GOMES

EDIÇÕES INEGI

Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais J.F. Silva Gomes Professor Catedrático Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto

Edições INEGI Porto, 2004

Edição e Distribuição INEGI-Instituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Rua do Barroco, Nº174, 4465-591 Leça do Balio-Portugal Tel: +351 22 957 87 10 – E-mail: [email protected] www.inegi.up.pt

ISBN: 972-8826-06-0

À minha mulher Mª de Fátima

PREFÁCIO Este livro é o resultado duma compilação de apontamentos e notas de apoio às aulas de Mecânica dos Sólidos, Resistência dos Materiais e outras disciplinas afins que o autor tem vindo a leccionar ao longo dos últimos vinte e cinco anos, em cursos de licenciatura e de mestrado na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. O livro está estruturado de tal maneira que os conceitos básicos são apresentados duma forma clara e sistemática, tendo havido a preocupação de evitar tratamentos matemáticos mais complexos. Especialmente orientado para a formação de alunos de engenharia, o livro pode servir de apoio a qualquer disciplina de introdução à Mecânica dos Sólidos, incluindo também algumas aplicações importantes no projecto de elementos estruturais típicos de engenharia mecânica, engenharia civil e outras especialidades. Embora dando ênfase à utilização dos conceitos e das equações da Teoria da Elasticidade clássica para obtenção de soluções por via analítica, foi feito um esforço no sentido de ilustrar a sua aplicação a problemas correntes de engenharia. Por outro lado, o tratamento teórico adoptado constitui um suporte essencial ao desenvolvimento de outras técnicas de abordagem dos problemas de projecto e análise estrutural recorrendo, nomeadamente, à utilização dos métodos numéricos. Finalmente, é de referir que a estrutura adoptada para o presente livro se enquadra numa tendência actual para a integração das matérias teóricas e fundamentais num contexto mais amplo que inclui a sua aplicação directa a problemas concretos de engenharia. Sendo raras as publicações técnicas e científicas nesta área em português, pensa-se que a edição desta obra constitui uma contribuição importante para o enriquecimento e melhoria do ensino da engenharia em língua portuguesa. Porto, Setembro de 2004 J.F. Silva Gomes

ÍNDICE Prefácio Lista de Símbolos

vii xvii

Capítulo I Introdução

1

Capítulo II Análise das Tensões

7

2.1.

Introdução

7

2.2.

O Conceito de Tensão

8

2.3.

Componentes Cartesianas da Tensão

11

2.4.

Tensão para uma Orientação Arbitrária

13

2.5.

Equações de Equilíbrio

17

2.6.

Simetria da Matriz das Tensões

19

2.7.

Leis de Transformação das Tensões

20

2.8.

Invariantes das Tensões

24

2.9.

Tensões Principais

25

2.10.

Valores Limites da Tensão Normal

29

2.11.

Valores Limites da Tensão de Corte

31

2.12.

Tensões Principais Secundárias num Plano

33

2.13.

Tensão Hidrostática e Tensões de Desvio

34

2.14.

Tensão de Corte Octaédrica

37

2.15.

Representação Gráfica de Tensões. Construção de Mohr

38

x

Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais

2.16.

Construção de Swift

43

2.17.

Estado Plano de Tensão

44

2.18.

Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensão

46

2.19.

Tensões em Coordenadas Cilíndricas

49

2.20.

Problemas

53

2.21.

Bibliografia

56

Capítulo III Análise das Deformações

57

3.1.

Introdução. Deslocamento e Deformação

57

3.2.

Extensão ou Deformação Linear

59

3.3.

Distorção ou Deformação de Corte

60

3.4.

Matriz das Deformações

60

3.5.

Deformação Linear Segundo uma Direcção Arbitrária

62

3.6.

Deformação de Corte Segundo duas Direcções Ortogonais

63

3.7.

Leis de Transformação das Deformações

64

3.8.

Deformações Principais

66

3.9.

Invariantes das Deformações

68

3.10.

Deformações Principais Secundárias

69

3.11.

Deformação Média e Deformação de Desvio

70

3.12.

Deformações Sobre um Plano

71

3.13.

Valores Estacionários das Deformações

75

3.14.

Deformações Octaédricas

76

3.15.

Equações de Compatibilidade

76

3.16.

Representação Gráfica das Deformações

79

3.17.

Estado Plano de Deformação

81

Índice 3.18.

xi

Construções de Mohr para o Estado Plano de Deformação

82

3.19.

Equações das Deformações em Coordenadas Cilíndricas

85

3.20.

Problemas

88

3.21.

Bibliografia

91

Capítulo IV Relações Tensões-Deformações

93

4.1.

Introdução

93

4.2.

Lei de Hooke Generalizada

94

4.3.

Lei de Hooke para Materiais Isotrópicos

95

4.4.

Módulo de Rigidez

98

4.5.

Módulo de Compressibilidade

98

4.6.

Módulo de Young e Coeficiente de Poisson

99

4.7.

Relações Entre as Diferentes Constantes Elásticas

100

4.8.

Energia Elástica de Deformação

102

4.9.

Componentes da Energia de Deformação

105

4.10.

Critérios de Resistência

106

4.10.1. Critério de Ruptura para Materiais Frágeis

107

4.10.2. Critério de Tresca ou da Tensão de Corte Máxima

107

4.10.3. Critério de Von-Mises ou da Tensão Octaédrica Máxima

108

4.11.

Formulação Geral dos Problemas da Elasticidade

109

4.12.

Princípio de Saint-Venant

116

4.13.

Problemas

117

4.14.

Bibliografia

120

xii

Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais

Capítulo V Torção de Peças Lineares

121

5.1.

Introdução

121

5.2.

Veio Cilíndrico de Secção Circular

121

5.3.

Veio de Secção Circular Oco

125

5.4.

Veio Prismático de Secção Arbitrária

126

5.4.1.

Teoria de Saint-Venant

126

5.4.2.

Veio de Secção Elíptica

131

5.5.

A Analogia de Membrana

132

5.5.1.

Teoria de Prandtl

132

5.5.2.

Secção Circular

135

5.5.3.

Secção Rectangular

137

5.5.4.

Secção Tubular de Parede Fina

140

5.5.5.

Secção Multicelular

142

5.6.

Veio Circular de Diâmetro Variável

143

5.7.

Problemas

148

5.8.

Bibliografia

150

Capítulo VI Flexão de Vigas

151

6.1.

Introdução

151

6.2.

Flexão Pura duma Viga

152

6.3.

Vigas Compostas de Vários Materiais

157

6.4.

Flexão Desviada

159

6.5.

Flexão Combinada com Esforço Normal

161

6.6.

Flexão Combinada com Torção

162

6.6.1.

Viga de Secção Circular

162

6.6.2.

Viga de Secção Rectangular

164

Índice

xiii

6.7.

Flexão Combinada com Esforço Cortante

165

6.7.1.

O Esforço Rasante

166

6.7.2.

Viga de Secção Recta Rectangular

170

6.7.3.

Viga de Secção Recta Circular

171

6.7.4.

Viga de Secção Tubular Aberta

173

6.7.5.

Centro de Corte ou Centro de Torção

177

6.8.

Deformação Devido à Flexão

179

6.8.1.

Método da Integração da Elástica

179

6.8.2.

Método da Viga Conjugada

181

6.9.

Encurvadura. Teoria de Euler

184

6.10.

Flexão de Barras Curvas

188

6.11.

Problemas

191

6.12.

Bibliografia

195

Capítulo VII Problemas Planos

197

7.1.

Introdução

197

7.2.

Estado Plano de Deformação

198

7.3.

Estado Plano de Tensão

202

7.4.

Função de Tensão de Airy e Equação Biharmónica

205

7.5.

Soluções Polinomiais da Equação Biharmónica

208

7.5.1.

Função Polinomial do 2º Grau

208

7.5.2.

Função Polinomial do 3º Grau

210

7.5.3.

Função Polinomial do 4º Grau

211

7.6.

Flexão Pura duma Placa

213

7.7.

Flexão Plana duma Placa Encastrada

217

7.8.

Flexão no Plano duma Placa Simplesmente Apoiada

224

7.9.

Soluções Trigonométricas da Equação Biharmónica

227

xiv

Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais

7.10.

Problemas Planos em Coordenadas Polares

230

7.10.1. Equações Gerais

230

7.10.2. Funções de Airy em Coordenadas Polares

233

7.11.

Tensões num Cilindro de Parede Espessa

237

7.12.

Flexão Pura duma Barra Curva

240

7.13.

Flexão duma Barra Curva por Força Radial

243

7.14.

Tensões numa Placa com Furo Circular

245

7.15.

Problemas

250

7.16.

Bibliografia

253

Capítulo VIII Mecânica do Contacto

255

8.1.

Introdução

255

8.2.

O Problema de Boussinesq

256

8.3.

Contacto Entre Dois Corpos Esféricos. Teoria de Hertz

262

8.4.

Generalização da Teoria de Hertz a Superfícies não Esféricas

268

8.4.1. 8.4.2. 8.4.3.

Geometria do Contacto Distribuição da Pressão sobre a Área de Contacto Cálculo das Tensões de Contacto

268 270 274

8.5.

Contacto entre Dois Cilindros

276

8.6.

Efeito das Forças de Atrito

280

8.7.

Problemas

282

8.8.

Bibliografia

285

Capítulo IX Mecânica do Impacto

287

9.1.

287

Introdução

Índice

xv

9.2.

Propagação de Ondas Longitudinais em Barras

290

9.3.

Reflexão e Sobreposição de Ondas

293

9.4.

Impacto Coaxial de Barras

296

9.5.

Diagrama Espaço-Tempo de Lagrange

298

9.6.

Barra com Variação Brusca de Secção

299

9.7.

Impacto Coaxial duma Massa Rígida numa Barra

302

9.8.

Propagação de Ondas de Torção

306

9.9.

Ondas de Volume num Meio Tridimensional

309

9.10.

Ondas de Superfície (Ondas de Rayleigh)

312

9.11.

Reflexão e Refracção de Ondas numa Interface

312

9.11.1. Interface Fluido-Vácuo

313

9.11.2. Interface Sólido-Vácuo

315

9.11.3. Interface Sólido-Sólido. Onda Incidente P

320

9.11.4. Interface Sólido-Sólido. Onda Incidente S

322

9.12.

Fracturas Produzidas por Ondas de Tensão

323

9.13.

Problemas

328

9.14.

Bibliografia

331

Capítulo X Análise Experimental de Tensões

333

10.1.

Introdução

333

10.2.

Extensómetros Mecânicos

335

10.3.

Extensómetros de Cordas Vibrantes

337

10.4.

Extensometria Eléctrica

338

10.4.1. 10.4.2. 10.4.3. 10.4.4.

Princípio de Funcionamento Extensómetros de Folha Metálica Factor de Sonda e Sensibilidade Transversal O Efeito da Temperatura nos Extensómetros

338 341 343 344

xvi

Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais

10.4.5. 10.4.6. 10.4.7. 10.4.8. 10.4.9.

Selecção do Tipo de Extensómetro Colagem dos Extensómetros Instrumentação Circuito da Ponte de Wheatstone Análise de Rosetas

348 353 354 356 360

10.5. 10.5.1. 10.5.2. 10.5.3. 10.5.4. 10.5.5. 10.5.6. 10.5.7. 10.5.8. 10.5.9.

Fotoelasticidade Introdução Luz Ordinária e Luz Polarizada Polarizadores Planos Placas Birrefringentes e Placas Quarto-de-Onda Birrefringência Acidental Polariscópios Tensões no Modelo e no Protótipo Polariscópio de Reflexão O Efeito Fotoelástico com Luz Branca

365 365 366 371 372 375 377 385 386 388

10.6.

Revestimentos Frágeis

388

10.7.

Método de Moiré

390

10.8.

Técnicas Holográficas

393

10.8.1. Introdução

393

10.8.2. Gravação e Reconstrução dum Holograma

394

10.8.3. Interferometria Holográfica

397

10.9.

Problemas

403

10.10.

Bibliografia

406

Índice das Matérias

407