Exercícios Resolvidos

Exerc´ıcios Resolvidos Exerc´ıcio 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Solu¸c˜ ao:

Considere a1 , a2 , a3 , a4 e a5 as cinco retas. Como queremos o maior valor que n pode assumir, ent˜ao a segunda reta deve cortar a primeira. Observe a figura ao lado:

A terceira reta deve cortar as duas primeiras e assim por diante.

Da´ı, temos que o n´umero de pontos ser´a : 1 + 2 + 3 + 4 = 10

ˆ e BOC ˆ s˜ao, respectivamente, OM e Exerc´ıcio 2: As bissetrizes de dois ˆangulos adjacentes AOB o ˆ ˆ ´e 80o , determine ON. A bissetriz do ˆangulo MON forma 50 com OC. Se a medida do ˆangulo AOB ˆ o valor da medida do ˆangulo BOC. ˆ e BOC ˆ e a s bissetrizes OM e ON de AOB ˆ e BOC, ˆ Solu¸c˜ ao: Considere os ˆangulos adjacentes AOB o o ˆ ˆ respectivamente. A medida do ˆangulo AOB ´e 80 , ou seja, m(AOB)=80 . ˆ Denomine m(BOC)=2a. ˆ temos que esta faz 50o com OC. Achando a bissetriz de MON, a + 40o Da´ı, temos que a + = 50o ⇒ 2a + a + 40o = 100o ⇒ 3a = 60o ⇒ a = 20o 2 ˆ Logo m(BOC)=2a = 2 · 20o = 40o .

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Exerc´ıcios Resolvidos

254

Exerc´ıcio 3: Considere a reta r paralela a reta s, r k s, na figura abaixo.

Determine α + β. Solu¸c˜ ao:

Considere a figura dada e r k s. Seja A, B, C, D, E, F, G e H na figura dada. Seja a reta t k r passando por A e F ∈ t. Temos que: ˆ = α = BAF ˆ (ˆangulos correspondentes) DBE ˆ ˆ GCH= β = FAC (ˆangulos correspondentes) Da´ı α + β = 110o

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Exerc´ıcios Resolvidos

255

Exerc´ıcio 4:

Seja a figura ao lado e considere: o o o ˆ ˆ ˆ AB= AC, m(EBD)=60 , m(BCE)=50 e m(DCE)=30 . ˆ Determine a medida do ˆangulo BDE.

Solu¸c˜ ao: ˆ = 60o , m(BCE) ˆ = 50o e Considere a figura dada e que AB = AC, m(EBD) o ˆ m(DCE) = 30 . o ˆ = m(ACB)=80 ˆ Como AB = AC, ent˜ao m(ABC) ˆ Temos que ∆CBD ´e is´osceles, j´a que m(BDC) = 80o . Ent˜ao BC = BD. ˆ = 50o . Ent˜ao BC = BE. Temos que ∆BCE ´e is´osceles, j´a que m(BEC) ˆ = 60o , ent˜ao ∆BED ´e equil´atero, j´a que se X Logo BD = BE e m(DBE) ˆ ˆ = m(BDE) = m(BED). Temos que X + X + 60o = 180o ⇒ X = 60o o ˆ Logo m(BDE)=60 Exerc´ıcio 5: Na figura ao lado, P ´e a interse¸c˜ao das bissetrizes externas em ˆ sabendo que a medida B e C. Calcule a medida do ˆangulo BPC, ˆ ´e 70o . do ˆangulo A

ˆ mede 18◦ . Calcule o n´umero Exerc´ıcio 6: Num pol´ıgono regular convexo ABCDE..., o ˆangulo BAD de lados do pol´ıgono. ˆ = 18◦ . Solu¸c˜ ao: Seja o pol´ıgono regular convexo ABCDE... e considere m(BAD) Temos que AB = BC = CD = a e que ∆ ABC = ∆ BCD pois :   AB = CD BC comum (LAL)  ˆ = m(BCD) ˆ (ˆangulo interno do pol´ıgono) m(ABC)

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256

Solu¸c˜ ao: Seja a figura dada e considere P a interse¸c˜ao das bissetrizes ˆ = 70o . externas em B e em C e m(A) ˆ ˆ ˆ Seja m(DBP)= a, m(PCE)= b e m(BPC)= x. Ent˜ao  a + b + x = 180o (1)  

180o − 2a + 180o − 2b + 70o = 180o

De (2) vem: 250o = 2a + 2b ⇒ a + b = 125o Substituindo (3) em (1) vem,

(2)

(3)

125o + x = 180o ⇒ x = 55o ˆ Portanto m(BPC)= 55◦ .

ent˜ao, AC = BD

Temos ainda que ∆ ABD = ∆ ACD, pois   AB = CD AC = BD (LLL)  AD comum

ˆ = m(BAD) ˆ = 18◦ ⇒ m(BCD) ˆ ent˜ao m(ADC) = 162◦ (ˆangulo interno do pol´ıgono). Da´ı 180(n − 2) 162 = ⇒ 162n = 180n − 360 ⇒ 18n = 360 ⇒ n = 20 n Logo o n´umero de lados ´e 20.

Exerc´ıcio 7: Os lados de um triˆangulo medem, respectivamente 8 cm, 9 cm e 10 cm. Calcule o per´ımetro do triˆangulo que se obt´em tra¸cando-se pelos v´ertices desse triˆangulo paralelas aos lados opostos.

Solu¸c˜ ao: Seja o triˆangulo ABC de lados 8 cm, 9 cm e 10 cm. Tra¸cando pelos v´ertices desse triˆangulo paralelas aos lados opostos, construimos o novo triˆangulo que vamos denotar por DEF. ˆ = ABC ˆ e ACB ˆ = CAE ˆ (alternos internos) Como BC k AD ⇒ DAB ˆ = DBA ˆ AC k BD ⇒ BAC

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257

ˆ = BCA ˆ j´a que A ˆ+B ˆ + Cˆ = 180◦ . Da´ı BDA   AB comum ˆ = ABC ˆ (ALA) Logo ∆ ADB = ∆ ABC, pois DAB  ˆ ˆ DBA = BAC De forma similar, temos que: ∆ BFC = ∆ ABC

e

∆ AEC = ∆ ABC

ent˜ao DB = BF = 9, AD = AE = 10, F C = CE = 8 Da´ı o per´ımetro desse novo triˆangulo ´e: 2 · 10 + 2 · 9 + 2 · 8 = 54 Note que o per´ımetro deu o dobro do per´ımetro do triˆangulo inicial. Exerc´ıcio 8: Num quadril´atero convexo, a soma de dois ˆangulos internos consecutivos mede 190◦ . Determine o maior dos ˆangulos formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ˆangulos.

Solu¸c˜ ao: Considere um quadril´atero convexo tal que a soma de dois ˆangulos internos consecutivos mede 190◦ . Temos que

ˆ+B ˆ = 190◦ A Sabemos que

(1)

ˆ+B ˆ + Cˆ + D ˆ = 180◦ (4 − 2) = 360◦ A

(2)

Substituindo (1) em (2) vem : ˆ+D ˆ = 360◦ − 190◦ = 170◦ C ˆ eD ˆ vem: Tra¸cando as bissetrizes interna de C ˜ CECIERJ Fundac¸ao

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258

Denotando os ˆangulos entre as bissetrizes de X e Y, temos: ˆ ˆ ˆ 170◦ D Cˆ + D C + = = = 85◦ 2 2 2 2 X+Y = 180◦ ⇒ X = 180◦ − 85◦ = 95◦ Y =

Logo o maior dos ˆangulos ´e 95◦ .

Exerc´ıcio 9: Dois pol´ıgonos regulares P1 e P2 tem respectivamente n e n + 1 lados. Sabendo-se que a soma das medidas de um ˆangulo interno de P1 com um ˆangulo externo de P2 vale 168◦, determine o n´umero de diagonais desses pol´ıgonos.

Solu¸c˜ ao: Sejam dois pol´ıgonos regulares P1 e P2 com n e n + 1 lados. Temos que: AiP1 + AeP2 = 168◦ ⇒

360 180(n − 2) + = 168◦ n n+1

(180n − 360)(n + 1) + 360n = 168n2 + 168n 180n2 − 360n + 180n − 360 + 360n − 168n2 − 168n = 0 12n2 + 12n − 360 = 0 n2 + n − 30 = 0 n=

−1 ±

√

  n=5

1 + 120 ⇒  2

n = −6 (n˜ao serve)

P1 tem n lados e n = 5 ⇒ d1 =

5(5 − 3) =5 2

P2 tem n + 1 lados e n + 1 = 6 ⇒ d2 =

6(6 − 3) =9 2

O n´umero de diagonais ´e: para P1 , 5 diagonais e para P2 , 9 diagonais. ˆ formado pelas retas suportes dos lados AB e Exerc´ıcio 10: Determine a medida do ˆangulo BMC CD de um dec´agono regular da figura abaixo. ˆ e MCB ˆ s˜ao congruentes por serem ˆangulos Solu¸c˜ ao: Seja a figura dada. Temos que os ˆangulos BMC 360◦ = 36◦ . externos de um mesmo pol´ıgono regular e cada ˆangulo externo vale 10 ˜ CECIERJ Fundac¸ao

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Exerc´ıcios Resolvidos

259

Portanto o ∆ BMC ´e is´osceles e da´ı ˆ+M ˆ +C ˆ = 180◦ ⇒ 36◦ + 36◦ + M ˆ = 180◦ ⇒ M ˆ = 180◦ − 72◦ = 108◦ B Da´ı

ˆ = 108◦ m(BMC)

Exerc´ıcio 11: As semi-retas PM e PN s˜ao tangentes ao c´ırculo da figura e o comprimento do arco ⌢ ⌢ ˆ MGN ´e quatro vezes o do arco MF N . Calcule o ˆangulo MPN.

Solu¸c˜ ao:

⌢

⌢

Considere a figura dada e que o comprimento do arco MGN ´e 4 vezes o do arco MF N . ˆ ´e um ˆangulo excˆentrico externo. MPN Da´ı ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ MGN − MF N MF N − MF N MF N 4 3 ˆ = MPN = = (1) 2 2 2 Mas

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

MGN + MF N = 360◦ ⇒ 4 MF N + MF N = 360◦ ⇒ 5 MF N = 360◦ ⇒MF N= 72◦ Substituindo (2) em (1) vem:

⌢

MF N =

(2)

3 · 72 = 108◦ 2

Exerc´ıcio 12: Na semicircunferˆencia de centro O e diˆametro AB, temos que AD k OC ; sendo A, B,

⌢

⌢

⌢

C e D quatro pontos distintos. Se m(BC) indica a medida do arco BC e m(CD) indica a medida

⌢

do arco CD, relacione essas duas medidas.

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Exerc´ıcios Resolvidos

260

Solu¸c˜ ao: Seja a semicircunferˆencia de centro O e diˆametro AB com AD k OC ; sendo A, B, C e D quatro pontos distintos. ˆ = m(BAD) ˆ ˆ ´e ˆangulo central e Temos que m(BOC) (1) (ˆangulos correspondentes; note que BOC ˆ BAD ´e ˆangulo inscrito). Temos que : ⌢ ˆ m(BOC) = m(BC) (2) e

⌢

m(BD) ˆ m(BAD) = 2 Substituindo (1) em (3) vem:

(3)

⌢

ˆ = m(BD) m(BOC) 2 De (2):

⌢

⌢

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ m(BD) ⇒ m(CD) = m(BD) − m(BC) = 2m(BC) − m(BC) = m(BC) m(BC) = 2 Logo

⌢

⌢

m(CD) = m(BC) Exerc´ıcio 13: As diagonais de um trap´ezio retˆangulo medem, respectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o per´ımetro do quadril´atero convexo cujos v´ertices s˜ao os pontos m´edios dos lados desse trap´ezio. Solu¸c˜ ao: Considere um trap´ezio retˆangulo ABCD cujas diagonais medem, respectivamente 9 cm e 12 cm.

Sejam M1 , M2 , M3 e M4 os pontos m´edios de AB, BC, CD e AD, respectivamente. Temos que : M1 M4 ´e base m´edia do ∆ ABD ⇒ M1 M4 =

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9 2

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Exerc´ıcios Resolvidos

M2 M3 ´e base m´edia do ∆ BCD ⇒ M2 M3 =

9 2

M1 M2 ´e base m´edia do ∆ ABC ⇒ M1 M2 =

12 2

M3 M4 ´e base m´edia do ∆ ADC ⇒ M3 M4 =

12 2

Da´ı o per´ımetro pedido ´e:

261

9 9 12 12 + + + = 21 2 2 2 2

Nota: Dado um triˆangulo ABC, considere M ponto m´edio de AB e N ponto m´edio de AC ⇒ MN BC e MN k BC. ´e base m´edia, MN = 2

Exerc´ıcio 14: Considere na figura , ABCD um quadrado e DAPQ um losango cujo v´ertice P est´a no prolongamento da diagonal AC. Calcule os ˆangulos do triˆangulo DRQ.

Solu¸c˜ ao: Considere a figura dada e seja ABCD um quadrado, DAPQ um losango e P est´a no prolongamento da diagonal AC.

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Exerc´ıcios Resolvidos

262

ˆ = 45◦ (bissetriz do v´ertice de um quadrado) Temos que DAC Ent˜ao ˆ = 180◦ − 45◦ = 135◦ PAD Mas ∆ ADP ´e is´osceles, j´a que AP = AD (Propriedade do losango) Ent˜ao ˆ = ADP ˆ ⇒ 135◦ + 2APD ˆ = 180◦ ⇒ APD ˆ = 22◦ 30′ ˆ + APD ˆ + ADP ˆ = 180◦ e APD PAD Logo como a diagonal ´e bissetriz no losango vem: ˆ = 22◦ 30′ . QDR Da´ı

ˆ = 90◦ + 45◦ = 135◦ QDC ˆ = DCQ. ˆ Temos que ∆ DQC ´e is´osceles, pois QD = DC ⇒ DQC Da´ı ˆ + DCQ ˆ = 180◦ ⇒ 135◦ + 2DQC ˆ = 180◦ ⇒ DQC ˆ = 22◦ 30′ 135◦ + DQC No ∆ QDR, temos:

ˆ = 180◦ ⇒ QRD ˆ = 135◦ 22◦ 30′ + 22◦ 30′ + QRD

Logo os ˆangulos pedidos s˜ao : 22◦ 30′ , 22◦ 30′ e 135◦ . Exerc´ıcio 15: As bases MQ e NP de um trap´ezio medem 42 cm e 112 cm, respectivamente. Calcule ˆ ´e o dobro do ˆangulo PNM ˆ o lado PQ, sabendo que o ˆangulo MQP

Solu¸c˜ ao: ˆ = 2 m(MNP). ˆ Considere o trap´ezio MQPN dado com MQ = 42 cm e NP = 112 cm e m(MQP)

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263

Seja QL k MN ⇒ MQLN ´e um paralelogamo, pois MQ k NL (Defini¸c˜ao de trap´ezio) QL k MN (Por constru¸c˜ao) ˆ = x ⇒ m(MQP) ˆ =2x Denotemos m(MNP) Temos que: 1) MQ = NL = 42 (Propriedade de paralelogramo) ˆ =m(MNL) ˆ = x (ˆangulos correspondentes) 2) m(QLP) ˆ =m(MQL) ˆ = x (ˆangulos opostos do paralelogramo s˜ao congruentes) 3) m(MNL)

ˆ = 2x - x = x Temos que m(LQP) Portanto ∆ QLP ´e is´osceles de base QL ent˜ao PL = PQ e PL = 112 − 42 = 70 Logo PQ = 70 cm. Exerc´ıcio 16: Na figura ABCD ´e retˆangulo, M ´e o ponto m´edio de CD e o triˆangulo ABM ´e equil´atero. Sendo AB = 15 cm, calcule AP .

Solu¸c˜ ao: Seja na figura ABCD retˆangulo, M ponto m´edio de CD e ∆ ABM ´e equil´atero. AB = 15 cm.

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Trace a diagonal AC e seja O o encontro das diagonais AC e BD. Temos que no ∆ ACD, AM e DO s˜ao medianas e P ´e o baricentro deste triˆangulo ⇒ AP = Mas AM = AB De (1) e (2)

(2) (∆ ABM ´e equil´atero). AP =

264

2 · AM 3

(1)

2 2 · AB = · 15 = 10 3 3

Logo AP = 10 cm. ˆ eC ˆ medem respectivamente 70◦ e 60◦ . Determine Exerc´ıcio 17: Em um triˆangulo ABC os ˆangulos B a raz˜ao entre os dois maiores ˆangulos formados pelas interse¸c˜oes das trˆes alturas. Solu¸c˜ ao: ˆ 70◦ e C ˆ =60◦ . Seja um triˆangulo ABC, B=

Tracemos as trˆes alturas AH1 , BH2 e CH3 , o encontro dessas alturas, denotemos por O(ortocentro). Vamos achar os ˆangulos formados pelas interse¸c˜oes dessas alturas. ˆ 1 = 180◦ − 90◦ − 70◦ = 20◦ ⇒ H3 OA ˆ = 180◦ − 90◦ − 20◦ = 70◦ BAH ◦ ◦ ◦ ◦ ˆ ˆ CAH1 = 180 − 90 − 60 = 30 ⇒ AOH2 = 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦ ˆ 2 = 180◦ − 60◦ − 70◦ = 50◦ COH 70 7 60 6 Portanto a raz˜ao entre os dois maiores ˆangulos pedidos ´e: = ou = 60 6 70 7

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265

Exerc´ıcio 18: Se na figura, T ´e o incentro do triˆangulo MNP, determine a medida do ˆangulo α.

Solu¸c˜ ao: Seja a figura:

ˆ = x e NPT ˆ =y Denominemos MNT ⇒ Da´ı temos 50◦ = x + y (1)

ˆ = x e MPT ˆ =y PNT e

α + 2x + 2y = 180◦ (2)

Substituindo (1) em (2) vem: α + 2(x + y) = 180◦ ⇒ α + 2 · 50◦ = 180◦ ⇒ α = 80◦ Exerc´ıcio 19: Mostre que em um triˆangulo qualquer a medida de cada altura ´e menor que a semisoma das medidas dos lados adjacentes a ela. Solu¸c˜ ao: Seja ABC um triˆangulo cuja altura AH mede ha e os lados adjacentes b e c.

Vamos provar que ha < ˜ CECIERJ Fundac¸ao

b+c 2 ´ Consorcio CEDERJ

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266

De fato, a medida da altura AH ´e menor que as medidas dos lados adjacentes, AC e AB, visto que o segmento perpendicular ´e menor que qualquer obl´ıqua. Da´ı: b+c ha < b ⇒ ha + hb < b + c ⇒ ha < ha < c 2 Exerc´ıcio 20: Mostre que em um triˆangulo retˆangulo, a soma das medidas das trˆes alturas ´e maior que a medida do semiper´ımetro desse triˆangulo.

Solu¸c˜ ao: Considere um triˆangulo retˆangulo com lados medindo b, c e a e a sendo a hipotenusa.

Consideremos as alturas relativas aos lados: a como ha b como hc c como hb Note que neste triˆangulo : b = hc e c = hb b + c > a ⇒ hc + hb > a ⇒ 2ha + hb + hc > a ⇒ 2ha + hb + c + hc + b > a + b + c ⇒ 2ha + 2hb + 2hc > a + b + c ⇒ ha + hb + hc >

a+b+c 2

Exerc´ıcio 21: O propriet´ario de uma ´area quer dividi-la em trˆes lotes, conforme a figura abaixo. Determine os valores de a, b e c, em metros, sabendo-se que as laterais dos terrenos s˜ao paralelas e que a + b + c = 120 metros.

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267

Solu¸c˜ ao: b c a = = . De acordo com o Teorema de Tales, tem-se: 20 24 36 Assim: a+b+c a b c 120 a b c = = = ⇒ = = = 20 + 24 + 36 20 24 36 80 20 24 36  20 · 3   a= = 30   2      3 a b c 24 · 3 ⇒ = = = ⇒ b= = 36  2 20 24 36 2         c = 36 · 3 = 54 2 Logo os valores s˜ao: a = 30 metros, b = 36 metros e c = 54 metros. ˆ Exerc´ıcio 22: O per´ımetro de um triˆangulo ABC ´e 100 metros. A bissetriz do ˆangulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos que medem 16 metros e 24 metros. Determine a medida dos lados desse triˆangulo. Solu¸c˜ ao: Seja um triˆangulo ABC, cujo per´ımetro ´e 100 metros. a + b + c = 100

(1)

Seja AN a bissetriz interna. Temos que: CN = 16

(2)

e

BN = 24

(3)

Usando o Teorema da bissetriz interna vem: CN b = c NB ˜ CECIERJ Fundac¸ao

(4) ´ Consorcio CEDERJ

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268

Como a = 16 + 24 = 40 vem que b + c = 100 − 40 = 60  16 b   = b+c 16 + 24 60 40 60 · 16 c 24 ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒b= = 24.  b 16 b 16 40  b + c = 60 Como b + c = 60 ⇒ c = 60 − 24 = 36.

Da´ı as medidas dos lados do triˆangulo a = 40 cm, b = 24 cm, e c = 36 cm. Exerc´ıcio 23: Na figura abaixo, ABCD ´e um retˆangulo e M ´e ponto m´edio de AB. Se h ´e altura do triˆangulo CDE relativa ao lado CD, e x e y s˜ao as medidas dos lados do retˆangulo, determine a rela¸c˜ao entre h, x e y.

Solu¸c˜ ao: Seja a figura dada, ou seja, ABCD ´e um retˆangulo e M ´e ponto m´edio de AB. h ´e altura do triˆangulo CDE relativa ao lado CD; x e y s˜ao as medidas dos lados do retˆangulo. ˆ = DEC ˆ AEM ˆ = DCE ˆ MAE

∆CDE ∼ ∆AME pois ⇒

CD h ⇒ = x−h AM

y y 2

=

(AA ∼)

h h ⇒2= ⇒ 2x − 2h = h ⇒ 2x = 3h x−h x−h

Logo a rela¸c˜ao pedida ´e: 3h = 2x.

Exerc´ıcio 24: Calcular o raio da circunferˆencia circunscrita ao triˆangulo ABC da figura, se AB = 4, AC = 6 e AH = 3.

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269

Solu¸c˜ ao: Seja a figura com: AB = 4, AC = 6 e AH = 3. O o centro da circunferˆencia. Tracemos o diˆametro AD.

⌢

⌢

ˆ = 90 , j´a que ABD= 180 e ACD ˆ = ABD Temos que ACD 2 ◦

◦

⌢

ˆ = ADC ˆ = AC ˆ = ACD ˆ = 90 e ABH Da´ı ∆ABH ∼ ∆ADC, j´a que AHB 2 Assim 3 AH AB 4 = ⇒ = ⇒R=4 6 2R AC AD ◦

Exerc´ıcio 25: Na figura abaixo, as distˆancias dos pontos A e B `a reta r valem 2 e 4. As proje¸c˜oes ortogonais de A e B sobre essa reta s˜ao os pontos C e D. Se a medida de CD ´e 9, a que distˆancia ˆ = m(DEB)? ˆ de C dever´a estar o ponto E, do segmento CD, para que m(CEA)

Solu¸c˜ ao: Seja a figura com os dados do exerc´ıcio. Seja x a medida de C a E. Como CD = 9 ⇒ ED = 9 − x

ˆ = m(DEB) ˆ = α ⇒ ∆AEC ∼ ∆BDE (Crit´erio AA∼) Denomine m(CEA) ⇒

2 x AC CE = , ou seja, = . 9−x 4 9−x BD

Da´ı 4x = 18 − 2x ⇒ 6x = 18 ⇒ x = 3.

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270

Exerc´ıcio 26: Em um triˆangulo retˆangulo OAB, retˆangulo em O, com OA = a e OB = b, s˜ao dados os pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = P Q = QB = x. Determine o valor de x.

Solu¸c˜ ao: Seja um triˆangulo retˆangulo OAB, retˆangulo em O, com OA = a e OB = b. S˜ao dados os pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = P Q = QB = x. Considere o ∆ OPQ retˆangulo: 2

2

2

OP + OQ = P Q ⇒ (a − x)2 + (b − x)2 = x2 . a2 − 2ax + x2 + b2 − 2bx + x2 = x2 x2 − 2(a + b)x + a2 + b2 = 0

Resolvendo a equa¸c˜ao vem: √ (2(a + b))2 − 4(a2 + b2 ) 2(a + b) ± 8ab x= = ⇒ 2  2 √ √ a + b + 2ab 2(a + b) ± 2 2ab  x= = √  2 a + b − 2ab √ √ √ 2ab, j´ a que a + b + 2ab > a e a + b + 2ab > b. Como x < a e x < b, ent˜ a o n˜ a o pode ser a + b + √ Portanto x = a + b − 2ab. 2(a + b) ±

!

Exerc´ıcio 27: Trˆes goiabas perfeitamente esf´ericas de centros C1 , C2 e C3 , e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente, est˜ao sobre uma mesa tangenciando-se como sugere a figura.

Um bichinho que est´a no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira pelo caminho mais curto. Quantos cent´ımetros percorrer´a? Solu¸c˜ ao: Considere na figura dada, as trˆes goiabas de centros C1 , C2 e C3 , e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente. ˜ CECIERJ Fundac¸ao

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Exerc´ıcios Resolvidos

271

Denote na figura C1 B = y e T A = x. No ∆C1 BC2 , usando o Teorema de Pit´agoras vem: y 2 + 62 = (8 + 2)2 ⇒ y = 8

(1)

Temos que ∆ C2 T A ∼ ∆ C2 C1 B, j´a que T A k C1 B ⇒

10 y = 8 x

(2)

Substituindo (1) em (2), vem: 10 8 = ⇒ 10x = 64 ⇒ x = 6, 4 8 x Logo o caminho mais curto mede: 2 + x + x + 2 = 4 + 2 · 6, 4 = 16, 8 cm. Exerc´ıcio 28: No quadrado ABCD de lado 12 cm, temos AE = 13 cm e CF = 3 cm. O ˆangulo ˆ ´e agudo, reto ou obtuso? Justifique. AEF

Solu¸c˜ ao: Seja o quadrado ABCD de lado 12 cm, temos AE = 13 cm e CF = 3 cm. No ∆ADE, temos: 2

2

2

122 + DE = AE ⇒ DE = 133 − 122 = 25 ⇒ DE = 5 Da´ı EC = DC − DE = 12 − 5 = 7 No ∆ABF , temos: 2

2

2

122 + BF = AF ⇒ AF = 144 + 92 = 225 ⇒ AF = 15 No ∆CEF , temos:

2

EF = 72 + 32 = 58 No ∆AEF , temos: 152 < 132 +

√

2

58 pois 225 < 169 + 58

ˆ ´e agudo. Pela S´ıntese de Clairaut temos que AEF ˜ CECIERJ Fundac¸ao

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ˆ = 60◦ Exerc´ıcio 29: No quadril´atero ABCD da figura, AB = CD = 3 cm, BC = 2 cm, m(ADC) ◦ ˆ = 90 . Determine a medida, em cent´ımetros, do per´ımetro do quadril´atero. e m(ABC)

Solu¸c˜ ao: ˆ = 60◦ e m(ABC) ˆ Seja o quadril´atero ABCD, tal que AB = CD = 3 cm, BC = 2 cm, m(ADC) ◦ = 90 . No ∆ABC, temos: 2

2

2

AC = AB + BC = 32 + 22 = 13 ⇒ AC =

√

13

Denote AD = x. Usando a lei dos co-senos no ∆ACD, vem: 2

2

2

AC = AD + DC − 2AD · DC · cos 60◦ √ 1 ( 13)2 = x2 + 32 − 2 · x · 3 · ⇒ 13 = x2 + 9 − 3x 2 2 Temos que x − 3x − 4 = 0. Resolvendo esta equa¸c˜ao vem:    3+5 =4 √  3 ± 9 + 16  2 = x=  2  3−5   = −1(N˜ao serve) 2 Logo o per´ımetro do quadril´atero ABCD ´e : AB + BC + CD + AD = 3 + 2 + 3 + 4 = 12cm. Exerc´ıcio 30: Considere o triˆangulo n˜ao retˆangulo da figura abaixo. Determine sen α.

Solu¸c˜ ao: Seja o triˆangulo retˆangulo da figura: Pela lei dos senos temos:

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1 3 ⇒ sen α = 3 sen 15◦ = ◦ sen 15 sen α ´ Consorcio CEDERJ

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Exerc´ıcio 31: A diagonal de um quadrado inscrito em um c´ırculo mede 8 cm. Calcule o per´ımetro de um triˆangulo equil´atero inscrito nesse c´ırculo. Solu¸c˜ ao: Temos que a diagonal de um quadrado inscrito em um c´ırculo ´e o diˆametro, ou seja, 2R = d ⇒ d = 8 = 2R ⇒ R = 4

√ Como o lado √ em fun¸c˜ao do raio de um triˆangulo equil´atero inscrito neste c´ırculo ´e l3 = R 3 temos que l3 = 4 3. √ √ Da´ı o per´ımetro pedido ´e 3 · 4 3 = 12 3 cm. Exerc´ıcio 32: Dado o raio R de uma circunferˆencia, calcular o lado e o ap´otema do oct´ogono regular inscrito. Solu¸c˜ ao: Considere a figura que mostra o oct´ogono regular inscrito.

ˆ ´e Note que o ˆangulo central AOB

360◦ = 45◦ . 8

Vamos achar o lado, do oct´ogono (l8 ), em fun¸c˜ao do raio R. Usando a lei dos co-senos vem: l82 = R2 + R2 − 2 · R · R · cos 45◦ √ √ 2 2 2 2 = 2R2 − R2 2 l8 = 2R − 2 · R · 2 " √ √ l82 = R2 (2 − 2) ⇒ l8 = R 2 − 2 ˜ CECIERJ Fundac¸ao

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Vamos achar , agora, o ap´otema do oct´ogono (a8 ) em fun¸c˜ao do raio R. Da figura, vem por Pit´agoras: % ! √ &2 # $2 2 − 2 R l 8 = R2 ⇒ a28 = R2 − a28 + 2 2 √ √ 4R2 − 2R2 + R2 2 2R2 − R2 2 = ⇒ =R − 4 4 √ √ 2R2 + R2 2 R2 (2 + 2) 2 ⇒ a8 = = 4 4 " √ R 2+ 2 ⇒ a8 = 2 a28

2

Exerc´ıcio 33: Em um semic´ırculo de raio 6 cm, tra¸cam-se duas cordas paralelas que representam os lados de um quadrado e de um hex´agono regular inscritos. Calcule a distˆancia entre as duas cordas. Solu¸c˜ ao: Seja um semic´ırculo de raio 6 cm e duas cordas paralelas que representam os lados de um quadrado e de um hex´agono.

Seja AB = l6 , CD = l4 e R = 6. Vamos calcular EF = OE − OF . Considere os triˆangulos OEB e OFD: Temos # $2 l6 2 2 2 2 OE + EB = OB ⇒ OE + = 62 . (1) 2 # $2 l4 2 2 2 2 OF + F D = OD ⇒ OF + = 62 . (2) 2

Temos que

√ l4 = 6 2

(3) e l6 = 6

(4)

Substituindo (4) em (1) vem: OE 2 = 36 −

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√ 62 36 = 36 − = 27 ⇒ OE = 3 3 4 4

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Substituindo (3) em (2) vem: % √ &2 √ 6 2 = 36 − 9 · 2 = 18 ⇒ OF = 3 2 OF 2 = 36 − 2 √ √ √ √ Da´ı a distˆancia pedida ´e: EF = 3 3 − 3 2 = 3( 3 − 2). Exerc´ıcio 34: De quanto aumenta o raio de uma circunferˆencia quando o seu comprimento aumenta de π cm? Solu¸c˜ ao: Seja uma circunferˆencia de raio R e comprimento C. Temos que C = 2πR. Se aumentarmos o comprimento C de π, vamos determinar de quanto aumenta o raio R. Denote o novo raio de R′ . Ent˜ao 2πR + π π(2R + 1) 2R + 1 = ⇒ R′ = 2π 2π 2 2R + 1 − 2R 1 2R + 1 −R= = . Logo o aumento pedido ´e: R′ − R = 2 2 2 C + π = 2πR′ ⇒ 2πR + π = 2πR′ ⇒ R′ =

Exerc´ıcio 35: Em uma engrenagem a roda grande de raio 75 cm faz 900 voltas, enquanto a pequena d´a 1500 voltas. Qual o raio da roda pequena? Solu¸c˜ ao: A roda grande tem raio 75 cm e faz 900 voltas. Vamos determinar o comprimento total (C) da roda grande. C = 2π · 75 · 900

(1)

A roda pequena d´a 1500 voltas, vamos determinar o raio (r) desta roda. Note que o comprimento total desta roda ´e o mesmo da roda grande. Logo C = 2π · r · 1500 (2)

De (1) e (2) vem:

2π · r · 1500 = 2π · 75 · 900 ⇒ 1500r = 75 · 900 ⇒ r = 45 cm Da´ı o raio da roda pequena ´e 45 cm. Exerc´ıcio 36: Calcule a ´area de um quadril´atero convexo de diagonais perpendiculares medindo 12 cm e 15 cm. Solu¸c˜ ao: Considere um quadril´atero convexo ABCD de diagonais perpendiculares (Note que o enunciado n˜ao diz que o quadril´atero ´e um losango).

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Vamos denonimar a interse¸c˜ao das diagonais de E e denote AE = a, BE = b, CE = c e DE = d. Temos que a ´area do quadril´atero ´e: ab bc ad cd (a + c)b (a + c)d + + + = + SABCD = 2 2 2 2 2 2 Ent˜ao 12 · 15 (a + c)(b + d) SABCD = = = 90 2 2 Da´ı a ´area procurada ´e 90 cm2 .

Exerc´ıcio 37: No paralelogramo ABCD de ´area 48 cm2 , os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em quatro partes de igual medida. Calcule a ´area do triˆangulo AQR.

Solu¸c˜ ao: Seja o paralelogramo ABCD de ´area 48 cm2 e os pontos P, Q e R dividindo a diagonal BD em quatro partes de igual medida.

Ligando os pontos A a P, C a P, C a Q e C a R; temos 8 triˆangulos a saber: ABP, APQ, AQR, ARD, CBP, CPQ, CQR e CRD Esses triˆangulos tem a mesma ´area, j´a que eles tem a mesma base e a mesma altura. Portanto, j´a que a ´area do paralelogramo ´e a soma das ´areas desses oito triˆangulos, temos que a ´area do triˆangulo 48 = 6 cm2 . AQR ´e: 8

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Exerc´ıcio 38: Num terreno retangular com 54 cm2 de ´area, deseja-se construir um jardim, tamb´em retangular, medindo 6 metros por 3 metros, contornado por uma cal¸cada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.

Solu¸c˜ ao: Seja a figura dada e temos que a ´area do terreno ´e 54 m2 e o retˆangulo que iremos construir, o jardim, mede 6 metros por 3 metros. Vamos achar a largura L da cal¸cada.

Temos que (6 + 2L)(3 + 2L) = 54 ⇒ 18 + 6L + 12L + 4L2 = 54. ⇒ 4L2 + 18L − 36 = 0 ⇒ 2L2 + 9L − 18 = 0

Resolvendo a equa¸c˜ao de 2o grau vem:

L=

 −9 − 15   = −6 √   4 −9 ± 81 + 144 4

  6 −9 + 15   = = 1, 5 4 4

Como L > 0, temos que o valor de L = 1,5 metros.

Exerc´ıcio 39: Considere a circunferˆencia, representada abaixo, de raio 2 cm e os diˆametros AB e

⌢

CD perpendiculares. Com centro em C e raio CA foi tra¸cado o arco AB. Determine a ´area da regi˜ao assinalada.

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Solu¸c˜ ao: Seja a circunferˆencia dada, com raio 2 cm e os diˆametros AB e CD perpendiculares.

Temos que

◦ √ 2 ˆ = 180 = 90◦ AC = 22 + 22 ⇒ AC = 2 2 e ACB 2

Denotando a ´area pedida por Ap vem que: Ap = Asetor CAB − A∆ACB

√ √ √ π · (2 2)2 2 2 · 2 2 8π 8 = − = − = 2π − 4 4 2 4 2

Da´ı a ´area da regi˜ao assinalada ´e (2π − 4) cm2 . Exerc´ıcio 40: A figura mostra dois arcos de circunferˆencia de centro O, raios R e 2R e trˆes ˆangulos congruentes. Calcule a raz˜ao entre as ´areas da regi˜ao hachurada e n˜ao hachurada.

Solu¸c˜ ao: Seja a figura dada, com raios R e 2R dos dois arcos de centro O e trˆes ˆangulos congruentes.

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As trˆes regi˜oes de centro O e raio R, vamos denotar po A. As outras trˆes regi˜oes, vamos denotar por B, como est´a indicado na figura. Vamos achar a ´area da regi˜ao A. πR2 πR2 SA = = 4·3 12 Vamos achar a ´area da regi˜ao B. SB =

π(2R)2 πR2 4πR2 πR2 πR2 − = − = 4·3 12 12 12 4

A ´area da regi˜ao hachurada ´e: 2SA + SB e a ´area da regi˜ao n˜ao hachurada ´e SA + 2SB Logo, a raz˜ao entre as ´areas pedidas ´e: 2πR2 + 3πR2 2πR2 πR2 + 2SA + SB 5πR2 12 5 4 = 12 = · = 122 = 2 2 2 2 SA + 2SB πR πR + 6πR 12 7πR 7 2πR + 12 4 12

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